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求极限x→0时,lim[√(1+xsinx)Ccosx]/x²

当式子有加减运算时,是不能用等价无穷小的,比如这里√(1+xsinx)-√cosx不能等价为√(1+x^2)-√cosx直接使用洛必达法则有困难,可以分子有理化后拆出部分式lim(√(1+xsinx)-√cosx)/(arcsinx)^2=lim(√(1+xsinx)-√cos

解:lim(x→0)sin^2x/(1+xsinx+根号cosx)=0/(1+0+1)=0

lim(x→0)(1-cosx)/(xsinx)=lim(x→0)(1-(1-2(sin x/2)^2)/(xsinx)=(1-(1-2*x^2*(1/2)^2))/x^2=1/2

cosx=1-2(sin1/2x)^21-cosx=2(sin1/2x)^2因为x→0 →1-cosx=2(sin1/2x)^2=2*(1/2x)^2=1/2x^2sinx=x→lim x→0 1-cosx/xsinx=(1/2x^2)/x^2=1/2

在x趋于0时,cosx趋于1 那么 根号下(1+xsinx)-cosx等价于 根号下(1+xsinx)- 1 即0.5* xsinx,而sinx等价于x 所以 原极限=lim(x趋于0) 0.5x^2 /x^2= 0.5 故极限值为 0.5

x→0时,运用等价无穷小, 即1-cosx~x^2/2(1-cosx等价于x^2/2,在乘除中可以直接替换) sinx~x(同理,在乘除中可以直接替换) 于是原式=(x^2/2)/(x*x) =1/2

lim (sinx)^2/√(1+xsinx) - √cosx = 0-1 = -1要么题错,要么答案错.

lim(√(1+xsinx)-√cosx)/x^2 =3/4因为√(1+xsinx)近似于1+xsinx/2又近似于1+x^2/2√cosx=√(1-x^2/2+)近似于1-x^2/4所以分母近似于3x^2/4,所以极限为3/4事实上上述利用的是等价无穷小的概念

lim(x->0)1-√cosx/xsinx=lim(x->0)1-√cosx/x=lim(x->0)(1-√cosx)(1+√cosx)/(1+√cosx)x=lim(x->0)(1-cosx)/2x=lim(x->0)(x/2)/2x=1/4

如果楼主的括号打的是标准的话(我建议最好发个图上来)那么答案应该是 趋向负无穷lim(x->0)√(1+xsinx) = 1, lim(x->0)cosx/sin^2x = ∞(是1/0的形式)1-∞=-∞所以是负无穷再看看别人怎么说的.

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